Мазмұны
Бұл басылымда біз матрица рангының анықтамасын, сондай-ақ оны табуға болатын әдістерді қарастырамыз. Теорияның практикада қолданылуын көрсету үшін мысалдарды да талдаймыз.
Матрицаның дәрежесін анықтау
Матрицалық дәреже оның жолдар немесе бағандар жүйесінің дәрежесі болып табылады. Кез келген матрицаның бір-біріне тең жол және баған деңгейлері болады.
Қатар жүйесінің дәрежесі сызықтық тәуелсіз жолдардың максималды саны. Бағандық жүйенің разряды да осындай жолмен анықталады.
Ескертулер:
- Нөлдік матрицаның дәрежесі («таңбасымен белгіленгенθ«) кез келген өлшем нөлге тең.
- Кез келген нөлден басқа жол векторының немесе баған векторының дәрежесі біреуге тең.
- Кез келген өлшемдегі матрица нөлге тең емес кем дегенде бір элементті қамтыса, онда оның рангі бірден кем емес.
- Матрицаның рангі оның минималды өлшемінен үлкен емес.
- Матрицада орындалатын элементар түрлендірулер оның дәрежесін өзгертпейді.
Матрицаның дәрежесін табу
Минорлы шашақ әдісі
Матрицаның дәрежесі нөлден басқаның максимум ретіне тең.
Алгоритм келесідей: кәмелетке толмағандарды ең төменгі тәртіптен жоғарыға дейін табыңыз. Кішкентай болса nші рет нөлге тең емес, және одан кейінгі барлық (n+1) 0-ге тең, сондықтан матрицаның дәрежесі болады n.
мысал
Түсінікті болу үшін практикалық мысалды алып, матрицаның рангін табайық A төменде кәмелетке толмағандарды шекараласу әдісін қолдана отырып.
шешім
Біз 4 × 4 матрицамен жұмыс жасаймыз, сондықтан оның дәрежесі 4-тен жоғары болуы мүмкін емес. Сондай-ақ, матрицада нөлдік емес элементтер бар, бұл оның рангі бірден кем емес дегенді білдіреді. Ендеше, бастайық:
1. Тексеруді бастаңыз екінші дәрежелі кәмелетке толмағандар. Бастау үшін біз бірінші және екінші бағандардың екі жолын аламыз.
Минор нөлге тең.
Сондықтан, біз келесі минорға көшеміз (бірінші баған қалады, ал екіншісінің орнына үшіншіні аламыз).
Минор 54≠0, сондықтан матрицаның дәрежесі кемінде екі.
Ескерту: Егер бұл минор нөлге тең болса, біз келесі комбинацияларды одан әрі тексереміз:
Қажет болса, санауды жолдармен бірдей жалғастыруға болады:
- 1 және 3;
- 1 және 4;
- 2 және 3;
- 2 және 4;
- 3 және 4.
Егер барлық екінші ретті кішілер нөлге тең болса, онда матрицаның рангі бірге тең болар еді.
2. Біз өзімізге сәйкес келетін кәмелетке толмаған баланы бірден таба алдық. Сонымен, келесіге көшейік үшінші дәрежелі кәмелетке толмағандар.
Нөлдік емес нәтиже берген екінші реттің табылған минорына біз бір жолды және жасыл түспен белгіленген бағандардың бірін қосамыз (екіншіден бастаймыз).
Кәмелетке толмаған бала нөлге тең болып шықты.
Сондықтан екінші бағанды төртіншіге ауыстырамыз. Ал екінші әрекетте біз нөлге тең емес минорды таба аламыз, яғни матрицаның рангі 3-тен төмен болмауы керек.
Ескерту: егер нәтиже қайтадан нөлге тең болса, екінші қатардың орнына төртіншіні әрі қарай алып, «жақсы» кәмелетке толмаған баланы іздеуді жалғастыратын едік.
3. Енді анықтау қалды төртінші қатардағы кәмелетке толмағандар бұрын табылған нәрсеге негізделген. Бұл жағдайда ол матрицаның анықтауышына сәйкес келеді.
Минор 144≠0-ге тең. Бұл матрицаның рангі дегенді білдіреді A 4-ге тең.
Матрицаны сатылы түрге келтіру
Қадамдық матрицаның дәрежесі оның нөлдік емес жолдарының санына тең. Яғни, бізге тек матрицаны сәйкес пішінге келтіру қажет, мысалы, жоғарыда айтқанымыздай, оның дәрежесін өзгертпейтін -ді пайдалану.
мысал
Матрицаның дәрежесін табыңыз B төменде. Біз тым күрделі мысалды алмаймыз, өйткені біздің басты мақсатымыз әдістің практикада қолданылуын көрсету ғана.
шешім
1. Біріншіден, екінші жолдан екі еселенген біріншіні алып тастаңыз.
2. Енді төртке көбейтілген үшінші қатардан бірінші жолды алып тастаңыз.
Осылайша, біз нөлдік емес жолдар саны екіге тең болатын қадамдық матрицаны алдық, сондықтан оның дәрежесі де 2-ге тең.