Комплекс санды натурал дәрежеге көтеру

Бұл жарияланымда біз күрделі санды дәрежеге қалай көтеруге болатынын қарастырамыз (соның ішінде Де Моивр формуласын пайдалану). Теориялық материал жақсырақ түсіну үшін мысалдармен қоса беріледі.

Күрделі санды дәрежеге көтеру

Біріншіден, күрделі санның жалпы формасы бар екенін есте сақтаңыз: z = a + bi (алгебралық пішін).

Енді біз мәселені шешуге тікелей кірісе аламыз.

Шаршы саны

Біз дәрежені бірдей факторлардың туындысы ретінде көрсете аламыз, содан кейін олардың өнімін таба аламыз (оны есте сақтай отырып i² =-1).

z² = (a + bi)² = (a + bi)(a + bi)

Мысал 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Сондай-ақ, қосындының квадратын пайдалануға болады:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Ескерту: Дәл осылай қажет болған жағдайда айырманың квадраты, қосындының/айырманың кубы т.б формулаларды алуға болады.

N-ші дәреже

Күрделі санды көбейтіңіз z заттай n ол тригонометриялық түрде ұсынылса, әлдеқайда оңай.

Еске салайық, жалпы санның белгіленуі келесідей болады: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Көрсеткіштер үшін пайдалануға болады Де Мойвр формуласы (Ағылшын математигі Авраам де Моврдың атымен аталған):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

Формула тригонометриялық түрде жазу арқылы алынады (модульдер көбейтіледі, аргументтер қосылады).

Мысал 2

Күрделі санды көбейтіңіз z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) сегізінші дәрежеге дейін.

шешім

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).