Күрделі санның түбірін шығару

Бұл басылымда біз күрделі санның түбірін қалай алуға болатынын, сондай-ақ бұл дискриминанты нөлден кіші квадрат теңдеулерді шешуге қалай көмектесетінін қарастырамыз.

Күрделі санның түбірін шығару

Шаршы түбір

Біз білетініміздей, теріс нақты санның түбірін алу мүмкін емес. Бірақ күрделі сандарға келетін болсақ, бұл әрекетті орындауға болады. Оны анықтап көрейік.

Бізде нөмір бар делік z = -9. Үшін √-9 екі тамыры бар:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Алынған нәтижелерді теңдеуді шешу арқылы тексерейік z² =-9, мұны ұмытпайды i² =-1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ мен² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3і)² = 3² ⋅ мен² = 9 ⋅ (-1) = -9

Осылайша, біз мұны дәлелдедік -3i и 3i тамырлар болып табылады √-9.

Теріс санның түбірі әдетте былай жазылады:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i және т.б.

Түбір n дәрежесіне

Бізге түрдегі теңдеулер берілді делік z = ⁿ√w… Онда бар n тамырлар (z₀, оның₁, оның₂,…, z_n-1), оны төмендегі формула бойынша есептеуге болады:

|w| күрделі санның модулі болып табылады w;

φ – оның дәлелі

k мәндерді қабылдайтын параметр болып табылады: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Күрделі түбірлері бар квадрат теңдеулер

Теріс санның түбірін шығару uXNUMXbuXNUMXb әдеттегі идеясын өзгертеді. Егер дискриминант (D) нөлден кіші болса, онда нақты түбірлер болуы мүмкін емес, бірақ оларды күрделі сандар түрінде беруге болады.

мысал

Теңдеуді шешейік x² – 8x + 20 = 0.

шешім

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 - 80 = -16

D < 0, бірақ біз әлі де теріс дискриминанттың түбірін ала аламыз:

√D = √-16 = ±4i

Енді біз түбірлерді есептей аламыз:

x_1,2 = (-b ± √D)/2а = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Демек, теңдеу x² – 8x + 20 = 0 Екі күрделі конъюгаттық тамыры бар:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i