Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі

Бұл басылымда біз сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің (SLAE) анықтамасын, оның қалай көрінетінін, қандай түрлері барын, сондай-ақ оны матрицалық түрде, оның ішінде кеңейтілген түрде ұсынуды қарастырамыз.

Сызықтық теңдеулер жүйесінің анықтамасы

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі (немесе қысқаша «SLAU») - бұл әдетте келесідей көрінетін жүйе:

• m теңдеулер саны;
• n айнымалылар саны болып табылады.
• x₁, х₂,…, x_n – белгісіз;
• a₁₁,₁₂…, а_mn – белгісіздер үшін коэффициенттер;
• b₁, b₂,…, б_m – тегін мүшелер.

Коэффициент көрсеткіштері (a_ij) келесідей қалыптасады:

• i сызықтық теңдеудің нөмірі;
• j коэффициенті жататын айнымалының саны.

SLAU шешімі – мұндай сандар c₁, C₂,…, c_n , параметрінде оның орнына x₁, х₂,…, x_n, жүйенің барлық теңдеулері сәйкестіктерге айналады.

SLAU түрлері

1. Біртекті – жүйенің барлық бос мүшелері нөлге тең (b₁ =б₂ = … = b_m = 0).

   

2. Гетерогенді – егер жоғарыдағы шарт орындалмаса.
3. шаршы – теңдеулер саны белгісіздер санына тең, яғни m = n.

   

4. Анықталмаған – белгісіздер саны теңдеулер санынан көп.

   

5. қайта анықталды Айнымалыларға қарағанда теңдеулер көп.

   

Шешімдер санына байланысты SLAE болуы мүмкін:

1. буын кем дегенде бір шешімі бар. Оның үстіне, егер ол бірегей болса, жүйе анықталған деп аталады, бірнеше шешім болса, ол белгісіз деп аталады.

   

   Жоғарыдағы SLAE біріккен, себебі кем дегенде бір шешім бар: x = 2, у = 3.

2. үйлеспейтін Жүйеде шешімдер жоқ.

   

   Теңдеулердің оң жақтары бірдей, ал сол жақтары бірдей емес. Осылайша, шешімдер жоқ.

Жүйенің матрицалық белгіленуі

SLAE матрицалық түрде ұсынылуы мүмкін:

AX = B

• A белгісіздердің коэффициенттері арқылы құрылған матрица:

  

• X – айнымалылар бағаны:

  

• B – бос мүшелер бағаны:

  

мысал

Төмендегі теңдеулер жүйесін матрицалық түрде көрсетеміз:

Жоғарыдағы пішіндерді пайдалана отырып, коэффициенттері бар негізгі матрицаны, белгісіз және бос мүшелері бар бағандарды құрастырамыз.

Берілген теңдеулер жүйесінің матрицалық түрдегі толық жазбасы:

Кеңейтілген SLAE матрицасы

Егер жүйенің матрицасына A оң жаққа бос мүшелер бағанын қосыңыз B, деректерді тік жолақпен бөліп, сіз SLAE кеңейтілген матрицасын аласыз.

Жоғарыдағы мысал үшін ол келесідей көрінеді:

– кеңейтілген матрицаны белгілеу.