Үшбұрыштың медианасының анықтамасы және қасиеттері

Бұл мақалада біз үшбұрыштың медианасының анықтамасын қарастырамыз, оның қасиеттерін тізімдейміз, сонымен қатар теориялық материалды бекіту үшін есептерді шешу мысалдарын талдаймыз.

Үшбұрыштың медианасының анықтамасы

Медиана үшбұрыштың төбесін осы төбеге қарама-қарсы қабырғасының ортасымен қосатын түзу кесіндісі.

• BF жағына түсірілген медиана болып табылады AC.
• AF = FC

Негізгі медиана – медиананың үшбұрыштың қабырғасымен қиылысу нүктесі, басқаша айтқанда, осы қабырғаның ортасы (нүкте F).

медиандық қасиеттер

1-қасиет (негізгі)

Өйткені үшбұрыштың үш төбесі және үш қабырғасы болса, сәйкесінше үш медиана болады. Олардың барлығы бір нүктеде қиылысадыO) деп аталады центроид or үшбұрыштың ауырлық центрі.

Медианалардың қиылысу нүктесінде олардың әрқайсысы жоғарыдан есептегенде 2: 1 қатынасында бөлінеді. Анау.:

• AO = 2OE
• BO = 2OF
• CO = 2OD

2 қасиеті

Медиана үшбұрышты ауданы бірдей 2 үшбұрышқа бөледі.

S₁ = С.₂

3 қасиеті

Үш медиана үшбұрышты ауданы бірдей 6 үшбұрышқа бөледі.

S₁ = С.₂ = С.₃ = С.₄ = С.₅ = С.₆

4 қасиеті

Ең кіші медиана үшбұрыштың ең үлкен қабырғасына сәйкес келеді және керісінше.

• AC ең ұзын жағы, демек, медиана BF - ең қысқа.
• AB ең қысқа жағы, демек, медиана CD – ең ұзын.

5 қасиеті

Біз үшбұрыштың барлық қабырғаларын білеміз делік (оларды деп алайық a, b и c).

орташа ұзындық m_aжағына тартылады a, формула бойынша табуға болады:

Тапсырмалардың мысалдары

1-тапсырма

Үшбұрыштағы үш медиананың қиылысуы нәтижесінде пайда болған фигуралардың бірінің ауданы 5 см.². Үшбұрыштың ауданын табыңыз.

шешім

Жоғарыда қарастырылған 3-қасиетке сәйкес үш медиананың қиылысуы нәтижесінде ауданы тең 6 үшбұрыш пайда болады. Нәтижесінде:

S_△ = 5 см² ⋅ 6 = 30 см².

2-тапсырма

Үшбұрыштың қабырғалары 6, 8 және 10 см. Ұзындығы 6 см жағына сызылған медиананы табыңыз.

шешім

5-қасиетте берілген формуланы қолданайық: