Бұл басылымда біз Гаусс әдісі дегеніміз не, ол не үшін қажет және оның принципі қандай екенін қарастырамыз. Сондай-ақ біз әдісті сызықтық теңдеулер жүйесін шешуге қалай қолдануға болатынын практикалық мысал арқылы көрсетеміз.
Гаусс әдісінің сипаттамасы
Гаусс әдісі шешу үшін қолданылатын айнымалыларды дәйекті жоюдың классикалық әдісі. Ол неміс математигі Карл Фридрих Гаусстың (1777-1885) құрметіне аталған.
Бірақ алдымен SLAU келесі әрекеттерді орындай алатынын еске түсірейік:
- бір шешімнің болуы;
- шешімдердің шексіз саны болуы;
- үйлесімсіз болуы, яғни шешімдері жоқ.
Практикалық артықшылықтар
Гаусс әдісі үш сызықты теңдеуден көп, сондай-ақ шаршы емес жүйелерді қамтитын SLAE шешудің тамаша тәсілі болып табылады.
Гаусс әдісінің принципі
Әдіс келесі қадамдарды қамтиды:
- Түзу – теңдеулер жүйесіне сәйкес келетін кеңейтілген матрица жолдың үстіндегі үшбұрышты (сатылы) пішінге дейін төмендетіледі, яғни негізгі диагоналдың астында тек нөлге тең элементтер болуы керек.
- артқа – алынған матрицада негізгі диагональ үстіндегі элементтер де нөлге орнатылады (төменгі үшбұрышты көрініс).
SLAE шешімінің мысалы
Төмендегі сызықтық теңдеулер жүйесін Гаусс әдісі арқылы шешейік.
шешім
1. Алдымен SLAE кеңейтілген матрица түрінде береміз.
2. Енді біздің міндетіміз - негізгі диагональ астындағы барлық элементтерді қалпына келтіру. Әрі қарайғы әрекеттер нақты матрицаға байланысты, төменде біз өз жағдайымызға қатыстыларды сипаттаймыз. Алдымен жолдарды ауыстырамыз, осылайша олардың бірінші элементтерін өсу ретімен орналастырамыз.
3. Екінші қатардан біріншіні екі есе, ал үшіншіден біріншіні үш есе азайтыңыз.
4. Үшінші жолға екінші жолды қосыңыз.
5. Бірінші жолдан екінші жолды алып тастаңыз, сонымен бірге үшінші жолды -10-ға бөліңіз.
6. Бірінші кезең аяқталды. Енді біз негізгі диагональдың үстіндегі нөлдік элементтерді алуымыз керек. Ол үшін бірінші қатардан үшінші көбейтіндіні 7-ге көбейту керек, ал екіншісіне 5-ке көбейтілген үшіншісін қосу керек.
7. Соңғы кеңейтілген матрица келесідей:
8. Ол теңдеулер жүйесіне сәйкес келеді:
Жауап: түбір SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.