Сызықтық тәуелді және тәуелсіз жолдар: анықтамасы, мысалдары

Бұл жарияланымда жолдардың сызықтық комбинациясы, сызықтық тәуелді және тәуелсіз жолдар дегеніміз не екенін қарастырамыз. Теориялық материалды жақсы түсіну үшін де мысалдар келтіреміз.

Жолдардың сызықтық комбинациясын анықтау

Сызықтық комбинация (LK) мерзімі s₁бірге₂, …, с_n Матрица A келесі түрдегі өрнек деп аталады:

αs₁ + αs₂ + … + αs_n

Барлық коэффициенттер болса α_i нөлге тең, сондықтан LC тривиальды. Басқаша айтқанда, тривиальды сызықтық комбинация нөлдік жолға тең.

Мысалға: 0 · с₁ + 0 · с₂ + 0 · с₃

Тиісінше, егер коэффициенттердің кем дегенде біреуі болса α_i нөлге тең емес, онда LC болады тривиальды емес.

Мысалға: 0 · с₁ + 2 · с₂ + 0 · с₃

Сызықтық тәуелді және тәуелсіз жолдар

Жолдық жүйе – бұл сызықтық тәуелді (LZ) егер олардың тривиальды емес сызықтық комбинациясы болса, ол нөлдік сызыққа тең.

Демек, тривиальды емес LC кейбір жағдайларда нөлдік жолға тең болуы мүмкін.

Жолдық жүйе – бұл сызықтық тәуелсіз (LNZ) егер тек тривиальды LC нөлдік жолға тең болса.

Ескертулер:

• Квадрат матрицада жол жүйесі LZ болып табылады, егер осы матрицаның анықтауышы нөлге тең болса ғана (The = 0).
• Квадрат матрицада жолдар жүйесі LIS болып табылады, егер осы матрицаның анықтаушысы нөлге тең болмаса ғана (The ≠ 0).

Мәселенің мысалы

Жолдық жүйе екенін білейік {s₁ = {3 4};s₂ = {9 12}} сызықтық тәуелді.

Шешім:

1. Алдымен LC жасайық.

α₁{3 4} + a₂{9 12}.

2. Енді қандай құндылықтарды қабылдау керектігін анықтайық α₁ и α₂сызықтық комбинация нөлдік жолға тең болуы үшін.

α₁{3 4} + a₂{9 12} = {0 0}.

3. Теңдеулер жүйесін құрайық:

4. Бірінші теңдеуді үшке, екіншісін төртке бөл:

5. Бұл жүйенің шешімі кез келген α₁ и α₂, бірге α₁ = -3а₂.

Мысалы, егер α₂ = 2содан кейін α₁ =-6. Бұл мәндерді жоғарыдағы теңдеулер жүйесіне қойып, мынаны аламыз:

Жауап: сондықтан сызықтар s₁ и s₂ сызықтық тәуелді.