Тікбұрышты үшбұрыштың биіктік қасиеттері

Бұл басылымда біз тікбұрышты үшбұрыштағы биіктіктің негізгі қасиеттерін қарастырамыз, сонымен қатар осы тақырып бойынша есептерді шешу мысалдарын талдаймыз.

Ескерту: үшбұрыш деп аталады тікбұрышты, егер оның бір бұрышы тік (90°-қа тең), ал қалған екеуі сүйір (<90°) болса.

Тікбұрышты үшбұрыштағы биіктік қасиеттері

1 қасиеті

Тікбұрышты үшбұрыштың екі биіктігі бар (h₁ и h₂) аяқтарымен сәйкес келеді.

үшінші биіктік (h₃) тік бұрыштан гипотенузаға түседі.

2 қасиеті

Тік бұрышты үшбұрыштың ортоцентрі (биіктіктердің қиылысу нүктесі) тік бұрыштың төбесінде.

3 қасиеті

Гипотенузаға сызылған тікбұрышты үшбұрыштағы биіктік оны екі ұқсас тікбұрышты үшбұрышқа бөледі, олар да бастапқыға ұқсас.

1. △АҚШ ~ △ABC екі тең бұрышта: ∠АДБ = ∠LAC (түзу сызықтар), ∠АҚШ = ∠ABC

2. △ADC ~ △ABC екі тең бұрышта: ∠ADC = ∠LAC (түзу сызықтар), ∠ACD = ∠ACB.

3. △АҚШ ~ △ADC екі тең бұрышта: ∠АҚШ = ∠DAC, ∠ЖАМАН = ∠ACD.

Дәлелдеу: ∠ЖАМАН = 90° – ∠АҚШ (ABC). Сонымен бірге ∠ACD (ACB) = 90° – ∠ABC.

Сондықтан, ∠ЖАМАН = ∠ACD.

Оны ∠ сияқты дәлелдеуге боладыАҚШ = ∠DAC.

4 қасиеті

Тікбұрышты үшбұрышта гипотенузаға түсірілген биіктік келесідей есептеледі:

1. Гипотенузада кесінділер арқылы, оны биіктік негізіне бөлу нәтижесінде пайда болды:

2. Үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары арқылы:

Бұл формуладан алынған Сүйір бұрыштың синусының қасиеттері тікбұрышты үшбұрышта (бұрыштың синусы қарама-қарсы катеттің гипотенузаға қатынасына тең):

Ескерту: тікбұрышты үшбұрышқа біздің жарияланымда ұсынылған жалпы биіктік сипаттары да қолданылады.

Мәселенің мысалы

1-тапсырма

Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы оған түсірілген биіктікке 5 және 13 см кесінділерге бөлінеді. Осы биіктіктің ұзындығын табыңыз.

шешім

Берілген бірінші формуланы қолданайық 4 қасиеті:

2-тапсырма

Тікбұрышты үшбұрыштың катеттері 9 және 12 см. Гипотенузаға түсірілген биіктіктің ұзындығын табыңыз.

шешім

Алдымен гипотенузаның бойымен ұзындығын табайық (үшбұрыштың катеттері болсын «Дейін» и «В», ал гипотенузасы болады «қарсы»):

c² = А.² + b² = 9² + 12² = 225.

Демек, с = 15 см.

Енді біз екінші формуланы пайдалана аламыз Қасиеттер 4жоғарыда талқыланды: