Фалес теоремасы: тұжырымдау және есепті шешудің мысалы

Бұл басылымда біз 8-сынып геометриясындағы негізгі теоремалардың бірін – грек математигі және философы Милеттік Фалестің құрметіне осындай атау алған Фалес теоремасын қарастырамыз. Сондай-ақ ұсынылған материалды бекіту үшін мәселені шешудің мысалын талдаймыз.

Теореманың тұжырымы

Егер екі түзудің бірінде тең кесінділер өлшенсе және олардың ұштары арқылы параллель түзулер жүргізілсе, онда екінші түзуді кесіп өткенде олар ондағы бір-біріне тең кесінділерді кесіп тастайды.

• A₁A₂ = А.₂A₃ ...
• B₁B₂ =B₂B₃ ...

Ескерту: Секанттардың өзара қиылысуы рөл атқармайды, яғни теорема қиылысатын түзулер үшін де, параллельдер үшін де дұрыс. Секанттардағы сегменттердің орналасуы да маңызды емес.

Жалпылама тұжырымдау

Фалес теоремасы ерекше жағдай пропорционал сегмент теоремалары*: параллель сызықтар пропорционал сегменттерді кесінділерде кеседі.

Осыған сәйкес, жоғарыдағы сызбамыз үшін келесі теңдік дұрыс:

* өйткені тең сегменттер, соның ішінде, пропорционалдық коэффициенті бірге тең пропорционал.

Кері Фалес теоремасы

1. Қиылысатын секанттар үшін

Егер түзулер басқа екі түзуді (параллель немесе жоқ) қиып, олардың үстінен жоғарыдан бастап тең немесе пропорционал кесінділерді кесіп тастаса, онда бұл түзулер параллель болады.

Кері теоремадан мыналар шығады:

Міндетті шарт: тең сегменттер жоғарыдан басталуы керек.

2. Параллель секанттар үшін

Екі секанттағы сегменттер бір-біріне тең болуы керек. Тек осы жағдайда ғана теорема қолданылады.

• a || b
• A₁A₂ =B₁B₂ = А.₂A₃ =B₂B₃ ...

Мәселенің мысалы

Сегмент берілген AB бетінде. Оны 3 тең бөлікке бөліңіз.

шешім

Нүктеден сызу A тура a және оған қатарынан үш бірдей сегментті белгілеңіз: AC, CD и DE.

экстремалды нүкте E түзу сызықта a нүктемен қосыңыз B сегментте. Осыдан кейін, қалған нүктелер арқылы C и D параллель BE кесіндіні қиылысатын екі түзу сызыңыз AB.

АВ кесіндісінде осылай құрылған қиылысу нүктелері оны тең үш бөлікке бөледі (Фалес теоремасы бойынша).