Функцияның шегі дегеніміз не

Бұл басылымда біз математикалық талдаудың негізгі ұғымдарының бірі – функцияның шегі: оның анықтамасын, сондай-ақ практикалық мысалдармен әртүрлі шешімдерді қарастырамыз.

Функцияның шегін анықтау

Функция шегі – бұл функцияның аргументі шектеу нүктесіне ұмтылған кезде оның мәні ұмтылатын мән.

Шектеу жазбасы:

• шектеу белгішесі арқылы көрсетіледі лим;
• төменде функцияның аргументі (айнымалысы) қандай мәнге бейім болатыны қосылады. Әдетте бұл x, бірақ міндетті емес, мысалы:x→1″;
• содан кейін функцияның өзі оң жақта қосылады, мысалы:

  

Осылайша, шектің соңғы жазбасы келесідей болады (біздің жағдайда):

сияқты оқиды «функцияның шегі, өйткені х бірлікке ұмтылады».

x→ 1 – бұл «x» бірлікке шексіз жақындайтын, бірақ онымен ешқашан сәйкес келмейтін мәндерді дәйекті түрде қабылдайтынын білдіреді (ол жетпейді).

Шешім шектеулері

Берілген санмен

Жоғарыдағы шекті шешейік. Бұл әрекетті орындау үшін функциядағы бірлікті жай ғана ауыстырыңыз (өйткені x→1):

Осылайша, шектеуді шешу үшін алдымен берілген санды оның астындағы функцияға жай ғана ауыстыруға тырысамыз (егер x белгілі бір санға ұмтылса).

Шексіздікпен

Бұл жағдайда функцияның аргументі шексіз өседі, яғни, «X» шексіздікке (∞) ұмтылады. Мысалға:

If x→∞, онда берілген функция минус шексіздікке (-∞) ұмтылады, себебі:

• 3 - 1 = 2
• 3 - 10 = -7
• 3 - 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 т.б.

Тағы бір күрделі мысал

Бұл шектеуді шешу үшін мәндерді көбейтіңіз x және бұл жағдайда функцияның «мінез-құлқын» қараңыз.

• RџSЂRё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџSЂRё x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџSЂRё x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Осылайша, үшін «X»шексіздікке ұмтылу, функция x² +3x –6 шексіз өседі.

Белгісіздікпен (x шексіздікке ұмтылады)

Бұл жағдайда функция бөлшек болған кезде, алымы мен бөлімі көпмүшелер болатын шектеулер туралы айтып отырмыз. Онда «X» шексіздікке ұмтылады.

Мысал: төмендегі шекті есептейік.

шешім

Алымдағы да, бөлгіштегі де өрнектер шексіздікке бейім. Бұл жағдайда шешім келесідей болады деп болжауға болады:

Дегенмен, бәрі де қарапайым емес. Шектеуді шешу үшін келесі әрекеттерді орындау керек:

1. Табыңыз x алым үшін ең жоғары қуатқа дейін (біздің жағдайда бұл екі).

2. Сол сияқты біз де анықтаймыз x бөлгіш үшін ең жоғары қуатқа (сонымен бірге екіге тең).

3. Енді алым мен азайтқышты тең бөлеміз x жоғары дәрежеде. Біздің жағдайда, екі жағдайда – екіншісінде, бірақ егер олар әртүрлі болса, біз ең жоғары дәрежені алуымыз керек.

4. Нәтижеде барлық бөлшектер нөлге бейім, сондықтан жауап 1/2.

Белгісіздікпен (x белгілі бір санға ұмтылады)

Алым да, бөлгіш те көпмүшелер, алайда, «X» шексіздікке емес, белгілі бір санға ұмтылады.

Бұл жағдайда бөлгіштің нөлге тең екендігіне көзімізді шартты түрде жұмамыз.

Мысал: Төмендегі функцияның шегін табайық.

шешім

1. Алдымен 1 санын функцияның орнына қойып көрейік «X». Біз қарастырып отырған пішіннің белгісіздігін аламыз.

2. Әрі қарай алым мен бөлгішті көбейткіштерге бөлеміз. Ол үшін қысқартылған көбейту формулаларын қолдануға болады, егер олар қолайлы болса немесе.

Біздің жағдайда алымдағы өрнектің түбірлері (2x² – 5x + 3 = 0) 1 және 1,5 сандары. Сондықтан оны келесідей көрсетуге болады: 2(x-1)(x-1,5).

Бөлгіш (x–1) бастапқыда қарапайым.

3. Біз осындай өзгертілген шекті аламыз:

4. Бөлшекті азайтуға болады (x–1):

5. Шектеу астында алынған өрнектегі 1 санын ауыстыру ғана қалады: