Бұл басылымда біз аффиндік геометрияның классикалық теоремаларының бірін – итальяндық инженер Джованни Цеваның құрметіне осындай атау алған Цева теоремасын қарастырамыз. Сондай-ақ ұсынылған материалды бекіту үшін мәселені шешудің мысалын талдаймыз.
Теореманың тұжырымы
Үшбұрыш берілген ABC, онда әрбір шыңы қарама-қарсы жағындағы нүктеге қосылған.
Осылайша, біз үш сегментті аламыз (AA ', BB ' и CC ') деп аталады cevians.
Бұл кесінділер келесі теңдік орындалғанда ғана бір нүктеде қиылысады:
|ЖӘНЕ'| |ЖОҚ'| |CB'| = |BC '| |SHIFT'| |AB '|
Теореманы осы түрде де беруге болады (нүктелер жақтарды қандай қатынаста бөлетіні анықталады):
Цеваның тригонометриялық теоремасы
Ескерту: барлық бұрыштар бағытталған.
Мәселенің мысалы
Үшбұрыш берілген ABC нүктелермен TO', B ' и C ' жағында BC, AC и AB, тиісінше. Үшбұрыштың төбелері берілген нүктелерге қосылып, түзілген кесінділер бір нүкте арқылы өтеді. Сонымен қатар, ұпайлар TO' и B ' сәйкес қарама-қарсы жақтардың орта нүктелерінде алынады. Нүктенің қандай қатынаста екенін табыңыз C ' жағын бөледі AB.
шешім
Есептің шарты бойынша сызбасын салайық. Ыңғайлы болу үшін біз келесі белгілерді қабылдаймыз:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Ceva теоремасы бойынша сегменттердің қатынасын құрастыру және оған қабылданған белгілерді ауыстыру ғана қалады:
Бөлшектерді азайтқаннан кейін біз мынаны аламыз:
Осылайша, AC' = C'B, яғни нүкте C ' жағын бөледі AB жартысында.
Сондықтан біздің үшбұрышта кесінділер AA ', BB ' и CC ' медианалар болып табылады. Есепті шешіп, біз олардың бір нүктеде қиылысатынын дәлелдедік (кез келген үшбұрыш үшін жарамды).
Ескерту: Цева теоремасын пайдалана отырып, үшбұрыштың бір нүктесінде биссектрисалары немесе биіктіктері де қиылысатынын дәлелдеуге болады.