Ферма теоремасы

Бұл басылымда біз бүтін сандар теориясындағы негізгі теоремалардың бірін қарастырамыз –  Ферма теоремасыфранцуз математигі Пьер де Ферманың атымен аталған. Сондай-ақ ұсынылған материалды бекіту үшін мәселені шешудің мысалын талдаймыз.

Теореманың тұжырымы

1. бастапқы

If p жай сан болып табылады a бөлінбейтін бүтін сан болып табылады pсодан кейін a^p-1 - 1 бөлінген p.

Ол ресми түрде былай жазылған: a^p-1 1 (қарсы p).

Ескерту: Жай сан – тек ХNUMX-ке және өзіне қалдықсыз бөлінетін натурал сан.

Мысалға:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• нөмір 15 бөлінген 5 қалдықсыз.

2. Балама

If p жай сан, a кез келген бүтін сан a^p -мен салыстыруға болады a модуль p.

a^p ≡ а (қарсы p)

Дәлелдемелерді табу тарихы

Пьер де Ферма теореманы 1640 жылы тұжырымдаған, бірақ оны өзі дәлелдеген жоқ. Кейінірек мұны неміс философы, логикасы, математигі және т.б. Готфрид Вильгельм Лейбниц жасады. Ол ешқашан жарияланбағанымен, 1683 жылға дейін дәлелдемеге ие болды деп есептеледі. Бір қызығы, Лейбниц теореманы бұрын тұжырымдалғанын білмей өзі ашқан.

Теореманың алғашқы дәлелі 1736 жылы жарияланды және ол швейцариялық, неміс және математик және механик Леонхард Эйлерге тиесілі. Ферманың кіші теоремасы Эйлер теоремасының ерекше жағдайы.

Мәселенің мысалы

Санның қалдығын табыңыз 2¹² on 12.

шешім

Санды елестетіп көрейік 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 жай сан, сондықтан Ферманың кіші теоремасы бойынша біз мынаны аламыз:

2¹¹ 2 (қарсы 11).

Осылайша, 2⋅2¹¹ 4 (қарсы 11).

Сонымен сан 2¹² бөлінген 12 қалдығымен тең 4.